一题多解探折叠 多法归一悟几何
一题多解探折叠 多法归一悟几何
-------以一道典型折叠问题求解为例
郑州市第八十四中学 董庆国
摘要
本文以一道矩形折叠经典几何题为载体，开展一题多解教学探究。从考法维度剖析本题的命题逻辑与核心考点，梳理不同解法并将解法分为基础通法、模型解法、拓展方法三类，呈现分层思维路径，最后从教学与学法维度提出落地建议。通过多维度拆解经典题型，为初中折叠类几何解题教学提供参考，助力学生在一题多解中落实核心素养，实现解题能力的迁移提升。
一、试题呈现
（经典折叠问题）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，点E是AB的中点，将
沿DE折叠，使点A落在点P处，EF的延长线交BC于点F，则BF的长为_________.
二、考法分析
（一）命题特点
本题是初中几何中考高频考查的经典矩形折叠类综合题，是几何变换与四边形、三角形融合考查的典型代表，在各地中考几何题中频繁出现。题目兼具基础性与综合性：以矩形性质、折叠轴对称变换为载体，融合勾股定理、相似三角形等核心知识点考查基础能力；同时解题路径分层清晰，适配不同学力学生，兼顾基础求解与思维拓展。另外，题目还可渗透多类经典几何解题模型，既能精准区分学生能力，也能为教学提供思维引导抓手。
（二）命题意图
本题以折叠性质应用、相似三角形、方程思想建立等知识为核心考查目标，既检验学生对矩形与折叠变换基础性质的掌握，也引导学生掌握几何问题代数化的通用解题路径，同时通过多解法设计培养学生发散思维，落实逻辑推理、直观想象等数学核心素养的考查，实现从解一道题到通一类题的能力提升。
（三）考点分析
1. 知识考点
本题覆盖图形变换（折叠轴对称性质）、四边形（矩形基本性质）、三角形（勾股定理、全等与相似三角形）等初中数学基础知识，同时涉及有一次函数、三角函数、二倍角公式等初中拓展知识。
2. 素养考点
聚焦考查直观想象、逻辑推理、数学运算与数学建模核心素养，要求学生通过图形观察识别边角关系，推导几何等量关系构建逻辑链，完成设元解方程的运算，同时实现几何问题的模型化转化。
3. 数学思想考点
核心渗透方程思想，同时融合转化与化归、数形结合、模型思想，将复杂几何关系转化为代数方程，结合图形与运算实现问题求解，引导学生形成模型化解题思维。
三、解法展示
本题的11 种解法可分为三大类，覆盖从基础通法到拓展解法的完整思维路径：
第一类：利用勾股定理建立方程求解（基础通法）
方法一（双直角三角形共边勾股法）：
解：连接DF.
∵E是AB的中点，AB=8,
∴AE=BE=4，由折叠性质得：
PE=AE=4,PD=AD=12,
设BF=
,∵BC=AD=12,∴CF=12-，
在
,
第二类：利用相似三角形建立方程求解（模型解法）
(以下部分解法为简略步骤)
方法二（延长线构等腰+相似法）：
延长DC、EF交于点M.
由折叠及矩形性质性质可得，
,
从而得到
为等腰三角形，即EM=DM,
设CM=,则DM=8+ ,PM=
,
在
中，由勾股定理得，
，解得
再由
得，
,得到
=3.
方法三（对侧延长线构全等+相似法）：
延长DA、FE交于点M
可证
,得到PM=3BF,设BF=x,
在中，由勾股定理得，
,解得
.
方法四（作平行线构全等+相似法）：
过点E作
可证
在
中利用勾股定理得，
解得
，然后再由
,得到
,解得
方法五（连对应点构多相似法）：
连接AP交ED于点M，过点P作
NQ
.
点M为AP中点，
，
可证
相似，
且有
,设AN=x, PQ=y,得到，PN=3x, BQ=3y,
可列方程组
,解得
,
再由
得，
,
解得FQ=0.6,所以FB=3.
以下三种方法为利用不同辅助线构造一线三等角求解：
方法六：
过点P作M
构造
可证
，
得到
令MP=x, ME=y,构造方程组
,解得
方法七：
如图，延长DP，交BC于点N.
连接EN.
可证
,
,
，BN=
,
由
得到，
,代入为
，解得BF=
.
方法八：
在方法七基础上，
亦可由
,
设
,NF=y,得到
，构造方程
,解得
，从而得到BF=.
方法九（坐标建模法）：
如图，以点B为坐标原点，BC方向为x轴，BA方向为y轴，建立平面直角坐标系。问题转化为求一次函数EF的表达式与x轴得交点，可得
,可推出
，
联立求点
,由中点坐标公式可得点
,
得到
,与x轴交点坐标为
,得所求.
方法十（正方形+三角函数法）：
如图，构造正方形AMND，作
NDP的角平分线DG，交MN于点G，连接GP. 可证得G、F、P三点共线.
设
,
可以求得
，由
，可得到
，由
PG=6.在
中，有勾股定理得MG=6.再由中位线定理得到BF=.
方法十一（二倍角公式法）：
如图，ADE=PDE=
,可以求得BEF =
由
=
=
,
在
中，由
,求得BF=3.
四、教学启示
（一）立足通性通法，夯实基础解题能力
教学中应优先落实勾股定理+方程的基础解法，这是所有折叠类几何计算问题的通性通法。要引导学生建立“折叠找等量→设元表线段→勾股列方程”的标准化解题流程，让所有学生都能掌握最基础、最通用的解题路径，保障基础得分能力。
（二）渗透模型思想，构建解题思维体系
在学生掌握通法的基础上，逐步渗透相似三角形、一线三等角、坐标建模等经典解题模型。通过对同类解法的归类总结，引导学生从“零散解题”转向“模型化解题”，实现“一题多解→多解归类→多题一解”的思维升级，构建完整的几何解题思维体系。
（三）强化一题多解，培养发散思维与核心素养
教学中可通过“解法对比”、“方法优化”的环节，让学生对比不同解法的优劣与适用场景：基础解法普适性强，模型解法效率高，拓展解法思维灵活。通过多解法的探究，培养学生的发散思维，同时在过程中落实逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，实现“解题”到“育人”的转变。
五、学法指导
（一）掌握基础方法，建立解题“工具箱”
应指导学生首先熟练掌握勾股定理建方程、相似三角形求线段这两类核心方法，这是解决几何计算问题的“基础工具箱”。遇到折叠问题时，优先尝试这两类方法，保障解题的正确率与稳定性。
（二）提炼图形结构特征，优化解题路径
在解题过程中可引导学生从图形本质出发，总结共性的边角关系与解题规律：遇到折叠与平行线结合的场景，优先挖掘等腰三角形的边角等量关系；遇到多直角共存的图形，梳理直角间的关联关系搭建求解逻辑；面对复杂图形，可尝试通过坐标法将几何关系转化为代数运算。通过对图形结构的主动提炼与规律总结，快速锚定解题方向，减少无效尝试，提升解题效率。
（三）重视解题反思，实现迁移应用
做完题目后不能止步于“得到答案”，要进行解题反思。总结本题用到的思想方法，对比不同解法的共性，提炼可迁移的解题规律。比如本题所有解法的核心都是“方程思想”，所有模型的本质都是“找等量关系”，通过反思实现“解一道题，会一类题”的迁移效果。